Lielākais kopīgas dalītājs un mazākais kopīgais dalāmais

uzdevumi NMS mājas lapā

Lielākais kopīgais dalītājs

Par divu vai vairāku skaitļu lielāko kopīgo dalītāju (LKD) sauc lielāko skaitli, ar ko dalās šie skaitļi.


Piemēram, kas būtu skaitļu 30 un 42 lielākais kopīgais dalītājs?
Skaitļa 30 dalītāji ir 1, 30, 2, 15, 3, 10, 5, 6. Ar citiem skaitļiem 30 nedalās bez atlikuma.
Bet skaitļa 42 dalītāji ir 1, 42, 2, 21, 3, 14, 6, 7, un ar citiem skaitļiem 42 nedalās.
Kādi dalītāji ir kopīgi? Acīmredzot, 1, 2, 3 un 6.
Bet kurš no tiem ir lielākais? 6! Tātad 6 arī ir 30 un 42 lielākais kopīgais dalītājs: LKD(30,42) = 6.

(Labs veids, kā būt drošam, ka atrasti ir tiešām visi dalītāji - jāsāk mēģināt dalīt ar mazākiem, piemēram:
30 dalās ar 1, protams (visi skaitļi dalās ar 1): 30=1x30 un mums īstenībā ir atrasti veseli divi dalītāji - 1 un 30.
30 dalās ar 2: 30=2x15, dalītāji 2 un 15.
30 dalās ar 3: 30=3x10, dalītāji 3 un 10.
30 nedalās ar 4 bez atlikuma.
30 dalās ar 5: 30=5x6, dalītāji 5 un 6.
30 dalās arī ar 6, bet tā kā 30=6x5, mums vairāk nav jāpaskatās - kas bija, sāk atkārtoties, un neko jaunu nedabūsim. Tāpēc 1, 30, 2, 15, 3, 10, 5 un 6 ir vienīgie dalītāji. Protams, varētu tos sakārtot augošā secībā: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, bet es arī turpmāk rakstīšu oriģinālajā secībā, jo tad ir labi redzams, kad vairs nav vērts skatīties tālāk.)

Bet ja mums ir trīs skaitļi - kas būtu 32, 48, 12 lielākais kopīgas dalītājs?
32 dalītāji ir 1, 32, 2, 16, 4, 8.
48 dalītāji ir 1, 48, 2, 24, 3, 16, 4, 12, 6, 8.
12 dalītāji ir 1, 12, 2, 6, 3, 4.
Kādi dalītāji ir kopīgi visiem trim skaitļiem? 1, 2, un 4. Un lielākais, protams, ir 4, tātad LKD(32, 48, 12) = 4.

Mazākais kopīgais dalāmais

Par divu vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo dalāmo (MKD) sauc mazāko skaitli, kas dalās ar visiem dotajiem skaitļiem.

Piemēram, kas būtu skaitļu 30 un 42 mazākais kopīgais dalāmais?
Ar skaitli 30 dalās 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, u.t.t. (katrā solī pieskaitām 30), mums kopā ir bezgalīgi daudz tādu skaitļu.
Ar skaitli 42 dalās 42, 84, 126, 168, 210... pag, 210 mums bija arī pirmajā virknē! Tas arī būs mazākais skaitlis, kas dalās ar abiem, tātad, mazākais kopīgas dalāmais! MKD(30,42) = 210

Bet kas būtu skaitļu 32, 48, 12 mazākais kopīgais dalāmais?
Ar 32 dalās 32, 64, 96, 128, 160, 192, 224, 256, 288, u.t.t. (cerēsim, ka pietiks).
Ar 48 dalās 48, 96 (ahā! bet katram gadījumam iesim mazliet tālāk), 144, 192, 240, u.t.t.
Ar 12 dalās 12, 24, 36, 48 (bet šis nedalās ar 32), 60, 72, 84, 96... rokā ir! MKD(32,48,12) = 96.

Dažas piezīmes

Ja mums ir tikai divi skaitļi, tad īstenībā var LKD un MKD atrast arī vieglāk nekā caur visiem dalītājiem. Pavisam viegli ir atrast vienu no tiem, ja otru jau zinām, jo LKD un MKD reizinājums, izrādās, ir tas pats, kas mūsu skaitļu reizinājums! Piemēram, 30x42=1260, un arī 6x210=1260.

Bet LKD var atrast ar Eiklīda algoritmu: aizvietojam lielāko skaitli, atņemot no tā mazāko, un to darām tik ilgi, cik vien varēsim. Ja viens no skaitļiem pārtop par nulli, tad otrs skaitlis arī ir LKD.
Piemēram,
30 un 42
30 un 42-30= 12
30-12= 18 un 12
18-12= 6 un 12
6 un 12-6= 6
6 un 6-6= 0
Un LKD(30, 42) = 6.

Mazliet jocīgi jau ir, ka "lielākais" ir īstenībā mazāks par mūsu skaitļiem, bet "mazākais" - lielāks, bet tā jau tā lieta - mēs meklējam, kurš no tiem maziem, kas ietilpst mūsu skaitļos, ir vislielākais, un kurš no lieliem, kam mūsu skaitļi iet iekšā, ir vismazākais. Vismazākais skaitlis, ar ko visi dalās, taču vienmēr būtu 1 - tas nav interesanti. Un kā mēs gan varētu atrast vislielāko skaitli, kas dalās ar 30? Tāda skaitļa nemaz nav, jo vienmēr varēsim pieskaitīt 30 un būs mums vēl lielāks skaitlis, kas dalās!